안드로메다 은하가 보일 확률?

Emile Borel and 10^-50

누군가가 이 글에 대해 딴지를 걸어왔네요...

이런 지적에 한번 직접 계산을 해 봤습니다. 과연 안드로메다 은하가 눈에 보일 확률이 얼마가 되는지.. (사실 이런 간단한 계산은 출처를 찾기가 쉽지 않죠. 인터넷에서 1+1=2라는 출처를 찾아보세요.)

안드로메다은하는 지구에서 약 200만 광년 떨어져 있습니다. 어느 한 순간 안드로메다에서 방출된 수많은 광자들은, 그들이 지구에 도착할 때쯤에는 반지름 200만광년인 구의 표면에 골고루 위치하게 됩니다.

한편, 우리가 안드로메다 은하를 보기 위해서는 그 광자들중 일부가 다음과 같이 우리의 동공 안으로 들어와야 합니다.

그러므로 안드로메다 은하가 눈에 보일 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

사람의 동공 넓이

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반지름 200광년인 구의 겉넓이

이것이 바로 반지름 200광년인 구의 표면에 퍼져있는 광자들이 우리 눈으로 들어올 확률이 될 것입니다.

1. 그렇다면 반지름 200만광년인 구의 겉넓이를 먼저 구해 보죠.

빛은 1초에 약 30만 km, 즉 3*10⁵ km를 이동합니다. 그러므로 1광년은 다음과 같습니다.

3*10⁵ km * 60 * 60 * 24 * 365 = 9.4608*10¹² km

이것을 mm단위로 바꾸면 다음과 같이 됩니다.

9.4608*10¹² km = 9.4608*10¹⁸ mm

그러므로 안드로메다 은하까지의 거리는 mm단위로 계산하면

9.4608*10¹⁸ mm * 2000000 = 1.89216*10²⁵ mm

구의 표면적 공식은 다음과 같습니다.

구의 겉넓이 = 4πr²

그러므로 반지름 200만광년인 구의 겉넓이를 mm단위로 계산하면

4 * 3.14 * (1.89216*10²⁵ mm)² = 4.49682*10⁵¹ mm²

2. 다음에는 동공의 넓이를 구해봅시다. 위에서 말했듯 동공의 평균 크기는 약 7mm 정도입니다.
원의 넓이는

원의 넓이 = πr²

입니다. 그러므로 동공의 넓이는

3.14 * (3.5 mm)² = 38.465 mm²

가 됩니다.

그러므로 안드로메다 은하가 눈에 보일 확률은

38.465 mm²

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4.49682*10⁵¹ mm²

이 되며 그 값은 약 8.55*10^-51이 됩니다.