1/1024의 확률에 도전하다

㉮ 아무런 조작이 되어있지 않은 동전을 10번 던져 모두 앞면이 나올 확률은 얼마일까요? 1/1024입니다. 이것이 가능할까요?

이 가능해보이지 않는 일을 한 마술사가 있습니다. 다음영상 약 30초 이후에 10번 연속 앞면이 나오는 것을 볼 수 있습니다.

과연 어떻게 해서 10번 연속으로 앞면이 나올 수 있었을까요?


㉯ 유명한 경제학 교수가 주식사기를 당했다고 합니다. 아무도 거들떠보지 않는 주식을 거액에 산 것이죠.
그런데 그는 이렇게 항변을 합니다.
[아무리 유능한 애널리스트라도 주가의 동향을 100% 정확하게 맞추는 것은 불가능에 가깝다. 하지만 저 사람은 그 주식의 주가동향을 열흘이나 정확하게 맞추었다. 이것은 한낱 사기꾼이 할 수 있는 일이 아니었다. 그 때문에 나는 그 주식이 오르리라는 말을 믿을 수밖에 없었다.]
저 사기꾼은 어떻게 해서  열흘간의 주가동향을 정확하게 맞출 수 있었을까요?

----------------------

확률의 역설에서도 언급했었지만, 인간의 두뇌는 확률을 계산하는데 부적합합니다. 완전한 랜덤이 지배하는 도박장이 아니라 패턴이 나타나는 지구에서 진화했기 때문이죠. 그레서 위에서와 같이 1/1024의 확률현상이 나타나면 매우 놀라워합니다.
하지만 그 비밀은 별것 아닙니다.

㉮와 같은 경우는 '될 때까지 던졌다'입니다. 던져서 뒷면이 나오면 다시 처음부터 시작하는 것이죠. 총 9시간동안 계속 동전던지기를 해서 결국 저 10번 연속 앞면이 나오는 마술을 성공시킨 것입니다.

㉯는 더 간단합니다. 여러 유명한 사람 1024명을 골라 편지를 보냅니다. 그중 512명에게는 '주가가 오른다', 다른 512명에게는 '주가가 내린다'라고 말이죠.
만약 다음날 주가가 떨어졌다면, 어제 '주가가 내린다'라고 보냈던 사람들을 대상으로 다시 편지를 보냅니다. 그들중 256명에게는 '주가가 오른다', 다른 256명에게는 '주가가 내린다'라는 편지를 말입니다.
이런 식으로 반복한다면 9일째는 2명이 남게 되고, 그들에게 '주가가 내린다', '주가가 오른다'라는 편지를 따로 보냅니다. 그들중 하나(위에서의 경제학 교수)에게는 사기꾼이 열흘동안 주가동향을 정확히 맞춘 전문가가 되는 것이죠.

이런 식으로 시간을 늘리거나(㉮) 모집합을 늘린다면(㉯) 이보다 더 작은 확률도 맞출 수 있습니다. 9시간이 아니라 18시간 이상 동전을 던진다면 동전이 11번 연속 앞면이 나오는 1/2048의 확률도 나타날 수 있으며, 2048명에게 편지를 보낸다면 11일간의 주가변화를 정확히 맞출 수 있는 것이죠.

가끔 창조론자들은 '일어날 수 없는 확률^*' 어쩌고 이야기를 하곤 합니다. 위와 같은 보기를 본다면 '일어날 수 없는 확률'은 오로지 0 하나뿐입니다. 아무리 가망성이 없어보이는 확률이라도 모집단의 수가 많을수록, 시간이 오래 걸릴수록 일어날 가능성은 커지죠.

^* 저들이 절대로 일어날 수 없다고 주장하는 '생명탄생의 확률'에도 문제가 있습니다. 보통 그들이 주장하는 확률은 '무기물에서 어느 순간 세포가 합성될 확률'을 구해놓고는 불가능하다고 주장하죠.
실제로 생명탄생의 과정은 무기물 → 간단한 유기물 → 복잡한 유기물 → 자기복제분자 → 생명의 여러 단계를 거쳐 만들어졌습니다. 그리고 저 각각의 단계가 일어날 확률은 작지 않습니다. 마치 63빌딩 꼭대기까지 한번에 뛰어오를 확률은 0에 무한히 가깝지만, 비상구 계단을 하나씩 밟아 올라갈 확률은 작지 않은 것처럼 말이죠.